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扔鸡蛋算法问题

这题据说是 GOOGLE的面试题, 但是却真实的被一些软件公司拿来考应聘者. 比如我在前几年面试剑桥的博通公司/Broadcom, 在第二轮也被问到了这个问题.

题意是: 给你两个鸡蛋, 有个100层楼, 你可以把鸡蛋从任意一层楼扔下, 鸡蛋可能破, 也可能不破, 如果不破的话, 你可以继续用这个鸡蛋扔. 你需要用这两个鸡蛋来试出鸡蛋会破的最小楼层高度. 这两个鸡蛋一模一样. 问你采用什么策略可以使最坏情况下的尝试次数最少?

什么是最差情况? 如果你只有一个鸡蛋, 那么你最坏需要100次(需要从1层楼开始测试)才可以得到结论.

最直接的做法就是从第一层开始试, 然后第二层以此类推, 但是这种方法只需要用到1个鸡蛋即可. 如果第N层鸡蛋没碎但是第N+1层碎了, 答案就是N. 这种情况下最坏需要尝试100次.

如果我们在第50层扔呢? 如果鸡蛋碎了, 那么答案就在第1到第49层, 反之答案就在第51到第100. 鸡蛋碎了, 我们只有一个鸡蛋, 就只能从1试到49, 最坏情况下是 1 + 49次, 这种情况比上面最直接的做法(49)还差. 如果鸡蛋没碎, 那么我们还有两个鸡蛋, 但是层数只有50层了, 这时候就是一个子问题了.

同样, 再举个例子, 如果我们第一次在第33层, 鸡蛋碎了, 我们需要最坏情况下再试32次, 答案是32+1次. 如果鸡蛋不碎, 我们需要用两个鸡蛋试一下剩下的67层.

也就是说, 如果我们用 f(n) 来表示在第 n 层扔鸡蛋最差情况下的次数, 我们有两种可能, 再试 n – 1 次或者在剩下 n – i 层里用两个鸡蛋(子问题)的次数的最大值.

所以, 问题也就是找出所有情况下使 1 + max(i – 1, f(n – i)) 值最小的次数. 这里 1 就是因为你已经扔了一次了.

f(n) = min(1 + max(i – 1, f(n – i))) i 的范围从1到n
显然 f(1) = 1

用 C++ 来算算:

// cached results;
vector<int> cache(101, 0);
 
int f(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (cache[n] > 0) { // 已经计算出结果了. 
        return cache[n];
    }
    auto v = n + 1; 
    for (auto i = n - 1; i >= 2; -- i) {
        v = min(v, 1 + max(i - 1, f(n - i)));
    }
    cache[n] = v;  // 把中间结果保存起来, 避免重复计算. 
    return v;
}

// cached results;
vector<int> cache(101, 0);

int f(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (cache[n] > 0) { // 已经计算出结果了. 
        return cache[n];
    }
    auto v = n + 1; 
    for (auto i = n - 1; i >= 2; -- i) {
        v = min(v, 1 + max(i - 1, f(n - i)));
    }
    cache[n] = v;  // 把中间结果保存起来, 避免重复计算. 
    return v;
}

这里是把递归求解变成一个动态规化的最简单的方法, 就是缓存中间结果, 否则程序算不出结果. 以上求解得 14.

PS: 这题还有个升级版本(力扣887 Super Egg Drop), 需要结构二分搜索来解决.

英文: Google’s Two Egg’s Problem

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