理解 Sigma 函数：因子、乘法性与公式推导

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Sigma 函数，记作 ，表示一个整数所有正因子的和。
例如 12 的因子有 1、2、3、4、6、12，因此 。
本文解释什么是 Sigma 函数、为什么它满足乘法性、如何从质因数分解推导出通用公式，并给出高效的 Python 实现。

可除性符号

在数论中，符号 “|” 表示“整除”。

因此表达式 的意思是“对所有能整除 n 的 d 求和”。

质因数分解与因子的结构

任意正整数 都可以唯一写成：

它的一个因子必须从每个质数的指数中“选择”一个：

所有因子结构的规律都来自这个事实。

关键性质：Sigma 函数是乘法性的

当两个整数互质时，Sigma 函数满足：

原因是：若 和 的质因数互不相同，
那么 的每个因子都能唯一写成：

因此对所有因子求和可以写成二重求和：

接下来把二重求和“拆开”。固定某个 ，则：

再对所有 求和：

这就证明了 Sigma 的乘法性。

质数幂的 Sigma 公式

利用乘法性，只需计算 。
其因子为：

这是一个几何级数：

把所有质因数幂的贡献相乘，就得到通用公式：

这就是任意正整数的因子和公式。

示例：计算 σ(12)

质因数分解：

分别计算：

相乘：

Python 实现：高效的 Sigma 函数

以下是基于质因数分解与乘法性的高效Python实现，时间复杂度约为 。

def sigma(n: int) -> int:
    """高效计算因子和函数 σ(n)。"""
    total = 1
    x = n

    # 处理质因数 2
    count = 0
    while x % 2 == 0:
        x //= 2
        count += 1
    if count > 0:
        total *= (2 ** (count + 1) - 1) // (2 - 1)

    # 处理奇质数
    p = 3
    while p * p <= x:
        if x % p == 0:
            count = 0
            while x % p == 0:
                x //= p
                count += 1
            total *= (p ** (count + 1) - 1) // (p - 1)
        p += 2

    # 若剩下的是质数
    if x > 1:
        total *= (x**2 - 1) // (x - 1)

    return total

结语

Sigma 函数展示了因子结构的优雅与质因数分解的力量。通过理解乘法性与几何级数求和，我们得到一个漂亮的闭式公式，并能编写高效的计算程序。有了理论与代码，你就能深入探索更多数论中的算术函数了。

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英文：Understanding the Sigma Function: Divisors, Multiplicativity, and the Formula