Amdahl 定律 vs Gustafson 定律 — 完整教程、推导、应用场景及 Python 绘图

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引言

并行计算在现代计算中至关重要：多核 CPU、GPU、分布式集群、云工作负载、LLM 训练以及 HPC 模拟。

为了分析程序在更多处理器下能加速多少，主要有两种数学模型：

• Amdahl 定律 — 固定规模工作负载的性能
• Gustafson 定律 — 可扩展规模工作负载的性能

这两条定律并不矛盾，它们回答的是 不同的问题。
本教程涵盖推导、直觉、比较、实际应用场景，以及展示两条定律的 Python 绘图脚本。

1. 什么是加速比？

加速比衡量程序在 N 个处理器上运行速度提升多少：

如果程序在一个处理器上运行 10 秒，两处理器运行 5 秒，则加速比为：

完美线性加速为：

但实际系统存在串行瓶颈，这正是 Amdahl 定律和 Gustafson 定律描述的内容。

2. Amdahl 定律（固定工作量）

2.1 直觉

Amdahl 假设：

• 总工作量保持 不变
• 部分工作是串行的，无法并行化

设：

• f = 串行比例
• 1 - f = 可并行比例

2.2 推导

一个处理器的运行时间：

定义：

因此：

N 个处理器的运行时间：

加速比：

其中 f 是串行工作比例， 是可并行工作。Amdahl 公式也可以写成：

其中 ，

2.3 当 N → ∞ 时的极限

如果串行比例为 10%（f = 0.1）：

即使处理器无限，也无法超过该值。

2.4 Amdahl 定律的实际应用场景

Amdahl 适合优化固定任务的 延迟：

• GPU 内核优化固定张量大小
• 单次请求推理延迟降低
• 视频编码、压缩、排序
• 加速固定批量作业
• 数据库查询加速

---

3. Gustafson 定律（可扩展工作量）

3.1 直觉

Gustafson 反过来问：

“增加处理器，我能在相同时间内解决多大的问题？”

这反映了真实 HPC 工作负载：更多 CPU → 更高分辨率 → 更大模拟。

3.2 推导

假设程序在 N 个处理器上运行 1 个时间单位。

设：

• f = 串行比例（按规模测量）

可并行部分随处理器数量扩展，因此其运行时间保持与 N 成比例。

一个处理器的时间：

加速比：

Gustafson 公式的 “N 减” 形式：

或者，如果定义并行比例 ，公式也可写为：

“N 减” 形式用 p 表示：

3.3 解释

随着 N 增加，加速比趋近于：

对于小串行比例，几乎呈线性增长。

3.4 Gustafson 定律的实际应用场景

Gustafson 适用于 吞吐量扩展 或可增加问题规模的工作负载：

• 天气和气候模拟
• 粒子模拟、CFD、有限元分析
• LLM 训练：更多 GPU → 更长序列或更大模型
• 大数据分析（Spark, Dask, Flink）
• 蒙特卡洛模拟

---

4. Amdahl 定律 vs Gustafson 定律（比较表）

项目	Amdahl	Gustafson
工作负载	固定	随 N 扩展
目标	降低延迟	增加吞吐量
加速比上限	有界:	近似线性:
悲观/乐观	悲观	乐观
应用场景	优化现有任务	扩展大规模工作量

---

5. 实际应用场景（综合视角）

Amdahl（延迟优化）

• 减少单次 LLM 查询推理时间
• 加速数据库 join 操作
• 固定张量 GPU 内核优化
• 视频编码（相同视频）

Gustafson（吞吐量 / 扩展）

• LLM 训练（扩展至更多 GPU）
• 高分辨率天气模型模拟
• 大数据 ETL 扩展
• 科学 HPC 工作负载

6. Python 绘图脚本（显示两条定律）

下面代码生成 Amdahl 与 Gustafson 加速比曲线图。

可以调整 f（串行比例）和处理器数量 N。

脚本绘制两条曲线在同一张图上。

包括部分 的值，例如串行部分：


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def amdahl_speedup(N, s):
return 1.0 / (s + (1 - s) / N)

def gustafson_speedup(N, s):
return s + (1 - s) * N

# Number of processors
N = np.arange(1, 65)

# Serial fractions to consider
Serial = [0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.8, 0.9, 1.0]

plt.figure(figsize=(10, 6))

for f in Serial:
plt.plot(N, amdahl_speedup(N, f), linestyle='-', label=f"Amdahl Serial={f}")
plt.plot(N, gustafson_speedup(N, f), linestyle='--', label=f"Gustafson Serial={f}")

plt.title("Amdahl's Law")
plt.xlabel("Number of Processors (N)")
plt.ylabel("Speedup")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()

plt.savefig("parallel-speedup-amdahl-vs-gustafson.png")
## plt.show()


下面是 Amdahl 与 Gustafson 曲线图示。

图示解读

• Amdahl 曲线迅速趋于平缓——受串行部分限制。
• Gustafson 曲线几乎线性上升——适用于可扩展工作负载。
• 串行比例 f 越高，两种模型差距越大。

结论

Amdahl 定律展示了固定工作负载下的并行 上限，适合延迟优化。Gustafson 定律展示了随工作负载扩展的并行 潜力。

• Amdahl 定律 → 固定规模工作负载 → 收益递减
• Gustafson 定律 → 可扩展工作负载 → 近似线性加速
• 结合使用理解硬件极限与算法特性
• Python 工具使可视化直观易懂

它们共同构成现代并行系统性能分析基础，从 HPC 到 LLM 训练，再到 GPU 计算。

英文：The Truth About Parallel Speedup: Amdahl’s Limits vs Gustafson’s Scaling

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