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如何证明 √2 是无理数 — 两种方法（反证法与几何无限下降）
“√2 是无理数”这一说法的意思是不存在整数 
和 
且 
，使得 
。
方法一 — 反证法
假设相反，认为 
是有理数。则存在整数 和 
，满足 且 ，使得
两边平方得：
由 
可知 
为偶数，因此 必为偶数。设 
，其中 
为某整数。
代回去：
因此 
为偶数，故 亦为偶数。
于是 和 都为偶数，这与我们假设的 矛盾（它们至少有公因子 2）。该矛盾说明原假设错误；因此 为无理数。
方法二 — 几何无限下降（等腰直角三角形中线构造）
等腰直角三角形边向斜边作垂线证明根号2不是有理数
设一个等腰直角三角形 
，其中直角在 
，两条直角边 
，斜边 
，因此有 
。
取 
的中点 
，从 向斜边 
作垂线，垂足为 
。
则 
也是一个等腰直角三角形，并且与原三角形 相似。记小三角形的斜边和直角边分别为 
与 
。
有 
，从而验证了 
。
关键点在于相似（固定比例缩放），小三角形的尺寸是原三角形的一定比例。
从 取中点 ，向斜边 作垂线，交于 。
于是 与 
相似。我们可以通过“重复减法”来表达边长关系：
因为 
，所以 
，因此 
。
进一步有 
。
因此 
辗转相减 
，即 
，其中 
，
。
由于 
，我们可以无限次重复这一构造过程。
每次重复相同的操作（取直角边的中点并作垂线到斜边），都会得到一个与原三角形相似的新等腰直角三角形，其边长都按某个固定比例 
缩小。
因此，斜边和直角边都会在每一步以几何级数的方式缩小。
这在整数情况下导致“无限下降”矛盾：
- 如果假设存在整数边长满足
，则这种几何构造（或等价的、保持整数关系的中点构造）会产生一个更小的正整数解。 - 无限重复下去会得到一个严格递减的正整数序列，这显然不可能。
因此，不存在这样的整数解，即 是无理数。
两种方法均证明了 不能写成两个整数之比。
- 方法一（反证法）利用奇偶性，说明若假设分数为最简形式则会导致分子和分母都为偶数，从而矛盾。
- 方法二（几何无限下降）通过在等腰直角三角形中作中线并利用相似性得到更小的整数解，从而与最小性矛盾。
任一方法都给出清晰而严谨的证明，表明 是无理数。
数学
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