中学数学就学了无限循环小数的概念, 比如 1/3 用分数就是 0.33333.. 除不尽.但是相信很多人对 0.9999.. 是不是等于1就表示怀疑, 尽管 3 * (1/3) = 3 * 0.3333 也就证明了 0.999 无限循环等于1.类似的也可以用 9*(1/9)=1=9*(0.1111循环)=0.999循环

另一种证明也很简单直观, 假设 x = 0.999循环
那么 10x = 9.9999循环;
10x-x=9x;
等式右边相减, 循环部分就没了, 也就是 9x=9, x=1

当然有人会说你这种证明不靠谱, 因为当你乘于 10 的时候, 也就是你把这个数后面放一个零, 你就假定 0.9循环后放了一个零, 可是0.9循环永远没有结束怎么能在最后放一个零呢? 所以不成立..

有人认为0.9循环非常接近1, 但永远不等于1, 因为永远只差1点. 我觉得有些钻牛角尖了或者强迫自己去这样思考.

更新: 严格意义上, 上面的证明存在问题, 因为右边无限循环部份不能直接相减, 或者我们需要证明可以相减等于0.

这里有一个相对靠谱的:

$proof-of-math 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$

证明0.9无限循环等于1

数学证明：0.999… 为什么等于 1

对大众读者、逻辑清晰、带一点趣味 —— 用三种常见方法说明 0.999… = 1

引言

很多人第一次看到这个结论时会怀疑：
“0.999999……怎么可能等于 1？它明明差一点点啊！”

数学的美妙之处在于它不依赖直觉，而依赖于严密的定义与逻辑。下面我们用几种常见且直观的方式来证明：

$tex_d93b8b09477b5c4bf8ea6caa0a33e618 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$

一、什么是 `0.999…`？

符号 0.999…（或写作 0.\overline{9}）的意思是无限重复的 9，也就是无限小数：

$tex_0657643fc26208cdbb8fd05aff6a7541 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$

也可以把它看成一个无穷级数，每一项比前一项小 10 倍，项数无限延续。

二、代数证明（最经典的）

设：

$tex_529b84d07af8fa9f7fb510740781a4f2 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$

两边同时乘以 10 得：

$tex_85b8cf203f64ffcff4b7aa427668c2dd 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$

用第二式减第一式，右边小数部分相互抵消：

$tex_3a2ff12f5f9568b585fc1b869889802f 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$
$tex_f4fb94422b9f169d32b49b83a1e9b25e 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$
$tex_6bcd91c06b06dff1642fd6b17f673588 数学证明 0.9 ... 无限循环等于1 数学杂乱糊说八道$