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教孩子编程: 证明根号2是个无理数的两种方法(反证法/几何无限下降法)

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如何证明 √2 是无理数 — 两种方法（反证法与几何无限下降）

“√2 是无理数”这一说法的意思是不存在整数 和 且 ，使得 。

方法一 — 反证法

假设相反，认为 是有理数。则存在整数 和 ，满足 且 ，使得

两边平方得：

由 可知 为偶数，因此 必为偶数。设 ，其中 为某整数。

代回去：

因此 为偶数，故 亦为偶数。

于是 和 都为偶数，这与我们假设的 矛盾（它们至少有公因子 2）。该矛盾说明原假设错误；因此 为无理数。

方法二 — 几何无限下降（等腰直角三角形中线构造）

等腰直角三角形边向斜边作垂线证明根号2不是有理数

设一个等腰直角三角形 ，其中直角在 ，两条直角边 ，斜边 ，因此有 。

取 的中点 ，从 向斜边 作垂线，垂足为 。

则 也是一个等腰直角三角形，并且与原三角形 相似。记小三角形的斜边和直角边分别为 与 。

有 ，从而验证了 。

关键点在于相似（固定比例缩放），小三角形的尺寸是原三角形的一定比例。

从 取中点 ，向斜边 作垂线，交于 。
于是 与 相似。我们可以通过“重复减法”来表达边长关系：

因为 ，所以 ，因此 。

进一步有 。

因此 辗转相减 ，即 ，其中 ，。

由于 ，我们可以无限次重复这一构造过程。

每次重复相同的操作（取直角边的中点并作垂线到斜边），都会得到一个与原三角形相似的新等腰直角三角形，其边长都按某个固定比例 缩小。

因此，斜边和直角边都会在每一步以几何级数的方式缩小。

这在整数情况下导致“无限下降”矛盾：

因此，不存在这样的整数解，即 是无理数。

两种方法均证明了 不能写成两个整数之比。

任一方法都给出清晰而严谨的证明，表明 是无理数。

数学

英文：Teaching Kids Programming – Two Ways to Prove Square Root of Two is Irrational (proof by contradiction and geometric infinite descent)

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