中学数学就学了无限循环小数的概念, 比如 1/3 用分数就是 0.33333.. 除不尽.但是相信很多人对 0.9999.. 是不是等于1就表示怀疑, 尽管 3 * (1/3) = 3 * 0.3333 也就证明了 0.999 无限循环等于1.类似的也可以用 9*(1/9)=1=9*(0.1111循环)=0.999循环
另一种证明也很简单直观, 假设 x = 0.999循环
那么 10x = 9.9999循环;
10x-x=9x;
等式右边相减, 循环部分就没了, 也就是 9x=9, x=1
当然有人会说你这种证明不靠谱, 因为当你乘于 10 的时候, 也就是你把这个数后面放一个零, 你就假定 0.9循环后放了一个零, 可是0.9循环永远没有结束怎么能在最后放一个零呢? 所以不成立..
有人认为0.9循环非常接近1, 但永远不等于1, 因为永远只差1点. 我觉得有些钻牛角尖了或者强迫自己去这样思考.
更新: 严格意义上, 上面的证明存在问题, 因为右边无限循环部份不能直接相减, 或者我们需要证明可以相减等于0.
这里有一个相对靠谱的:
证明0.9无限循环等于1
数学证明：0.999… 为什么等于 1
对大众读者、逻辑清晰、带一点趣味 —— 用三种常见方法说明 0.999… = 1
引言
很多人第一次看到这个结论时会怀疑：
“0.999999……怎么可能等于 1？它明明差一点点啊！”
数学的美妙之处在于它不依赖直觉，而依赖于严密的定义与逻辑。下面我们用几种常见且直观的方式来证明：
一、什么是 0.999…？
符号 0.999…（或写作 0.\overline{9}）的意思是无限重复的 9，也就是无限小数：
也可以把它看成一个无穷级数，每一项比前一项小 10 倍，项数无限延续。
二、代数证明（最经典的）
设：
两边同时乘以 10 得：
用第二式减第一式，右边小数部分相互抵消：
因此：
三、用分数看（更直观）
我们知道：
两边乘以 3：
于是同样得到结论。
四、从极限的角度（更严谨）
把 0.999… 看作等比数列的和。前 n 项和为：
这是首项 a=0.9、公比 r=0.1 的等比数列，有限项和公式给出：
当 
也就是说，0.999… 的极限是 1，所以它等于 1。
五、为什么直觉会抵触？
日常直觉里，我们处理的是有限的数字：例如 0.9、0.99、0.999，每多一位确实更接近 1，但仍然小于 1。问题在于，0.999… 表示的是“永远不断”的 9 —— 它不是写到某一位就停下的有限小数。
在无穷的语境下，“无限接近”与“等于”是通过极限这个严格定义连接起来的：若两者之差为 0（例如在极限意义下），则它们相等。
六、小结与哲学思考
结论：从代数、分数与极限三种角度都可以清楚地看到：
这个事实告诉我们：数学中“无限”的处理是依赖于定义与极限的。看似“差一点点”的差异，在严格的数学语言里可以消失不见。
延伸阅读（可选）
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1.000…与0.999…）？ - 如何在更高等数学（例如完备性、公理化实数）下理解这种“等价表示”？
数学
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